余因子展開と漸化式の問題をわかりやすく解いてみた

こちらの問題は、編入数学徹底研究 に載っていた問題です。

例題10-7(余韻師展開とその応用)

さっそく解いていきましょう！！

編入数学徹底研究に載っている部分は飛ばすます！！

解説

 なんやかんややっていくと、、、、、

Dn - Dn-1=x^2 (Dn-1 - Dn-2)

 等比数列の一般項

より、

・等比数列であること

 ・公比 r がx^2であることがわかる。

見やすいように・・・

Dn+1 - Dn=x^2 (Dn - Dn-1)

と書き直してみる。（問題集の解答に合わせている）

Dn+1 - Dn　を１つの数列としてみると...................

先程の等比数列の公式より一般項は以下のようになる。

En = Dn+1 - Dn = a×r^(n-1)

=(D2-D1)×(x^2)^(n-1)     (D2-D1)は初項 a となる。(n=1のとき)

　　　↓

En = Dn+1 - Dn =x^4 × (x^2)^(n-1) 

解法①

Dn+1 - Dn =x^4 × (x^2)^(n-1)

  階差数列型

より、階差数列であることがわかる。

 階差数列の一般項

f(n) = nを使って表された値。（例　2n+1 など）

より、

となる。D1＝1+x^2のとき、

となる。

 ちなみに、このような公式がある。公比 r = x   ,　初項 a = 1 

 つまり、等比数列の和となるため

Sn＝ 1 + x^2 + x^4 + ・・・ + x^(2n-4)  :n>=2　なので

これより、

Dn = 1+x^2 +x^4( 1 + x^2 + x^4 + ・・・ + x^(2n-4))

= 1+x^2 +x^4 +・・・+x^2n

という答えにたどり着ける。